Arithmogenre
J'ai besoin d'etudier la propagation des vibrations longitudinales dans une plaque mince d'épaisseur constante et négligeable devant les autres dimensions
Le souci, c'est que dans tout ce que j'ai trouvé sur la dynamique des plaques, les vivrations longitudinales sont négligées devant les vibrations transversales (surtout que d'habitude ces dernières ont plus d'interet notamment en rayonnement des structures puisques ce sont essentiellement elles qui sont a l'origine du rayonnement sonore)
Sauf que dans mon problème, les vibrations transversales sont nulles.
J'aimerais trouver l'équation aux dérivées partielles vérifiées par les ondes longitudinales, pour ça j'ai appliqué un PFD à un petit rectangle de plaque
J'obtiens donc après projection un système de 2 équations de la forme:
dm*X"=f(x+dx,y+dy)+f(x+dx,y-dy)-f(x-dx,y+dy)-f(x-dx,y-dy)
La plus part du temps quand on fait ce genre de raisonnement, on décompose dm en dm=A*dx*dy, ce qui fait apparaître une dérivée en faisant tendre dx et dy vers 0.
Par exemple, ce raisonnement est utilisé pour demontrer l'équation de d'Alembert ou la relation de l'hydrostatique.
Le souci, c'est qu'ici ça ne marche pas, quand je divise mon equation par dx et dy, on ne trouve pas une dérivé de f
Si les signes avaient été différents on aurait vu apparaître une dérivée croisée car elle est équivalente a [f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y-dy)-f(x-dx,y+dy)+f(x-dx,y-dy)]/(dx*dy) quand dx et dy tendent vers 0
Plus embêtant encore, en parametrant autrement mes actions mécaniques j'arrive a avoir:
A*dx*dy*X"=f(x+dx,y)-f(x-dx,y)
Soit en faisant tendre dx vers 0:
A*dy*X''=df/dx
Ce qui n'est pas homogène d'un point de vue différentiel (je ne sais pas si ça a du sens, mais dy tendant vers 0 et df/dx etant indépendant de dy, l'égalité est clairement fausse)
Pourtant j'ai fait exactement le même raisonnement que d'habitude, je ne vois pas ou est le problème
Si vous voyez ou est l'erreur de raisonnement ou si vous avez des documents concernant les vibrations longitudinales des plaques, vous me seriez d'une grande aide!
Le souci, c'est que dans tout ce que j'ai trouvé sur la dynamique des plaques, les vivrations longitudinales sont négligées devant les vibrations transversales (surtout que d'habitude ces dernières ont plus d'interet notamment en rayonnement des structures puisques ce sont essentiellement elles qui sont a l'origine du rayonnement sonore)
Sauf que dans mon problème, les vibrations transversales sont nulles.
J'aimerais trouver l'équation aux dérivées partielles vérifiées par les ondes longitudinales, pour ça j'ai appliqué un PFD à un petit rectangle de plaque
J'obtiens donc après projection un système de 2 équations de la forme:
dm*X"=f(x+dx,y+dy)+f(x+dx,y-dy)-f(x-dx,y+dy)-f(x-dx,y-dy)
La plus part du temps quand on fait ce genre de raisonnement, on décompose dm en dm=A*dx*dy, ce qui fait apparaître une dérivée en faisant tendre dx et dy vers 0.
Par exemple, ce raisonnement est utilisé pour demontrer l'équation de d'Alembert ou la relation de l'hydrostatique.
Le souci, c'est qu'ici ça ne marche pas, quand je divise mon equation par dx et dy, on ne trouve pas une dérivé de f
Si les signes avaient été différents on aurait vu apparaître une dérivée croisée car elle est équivalente a [f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y-dy)-f(x-dx,y+dy)+f(x-dx,y-dy)]/(dx*dy) quand dx et dy tendent vers 0
Plus embêtant encore, en parametrant autrement mes actions mécaniques j'arrive a avoir:
A*dx*dy*X"=f(x+dx,y)-f(x-dx,y)
Soit en faisant tendre dx vers 0:
A*dy*X''=df/dx
Ce qui n'est pas homogène d'un point de vue différentiel (je ne sais pas si ça a du sens, mais dy tendant vers 0 et df/dx etant indépendant de dy, l'égalité est clairement fausse)
Pourtant j'ai fait exactement le même raisonnement que d'habitude, je ne vois pas ou est le problème
Si vous voyez ou est l'erreur de raisonnement ou si vous avez des documents concernant les vibrations longitudinales des plaques, vous me seriez d'une grande aide!
(x,y) est l'acceleration de la particule située en (x,y)
