oxolaterre
bonjour j'suis nouveau
(pour tout n entier, my bad)
Topic : « prouver que n^3+11n divisible par 6 »
oxolaterre
bonjour j'suis nouveau
(pour tout n entier, my bad)
Solarius
🐈⬛🌕
Par récurrence.
• Pour n=1, n^3+11n = 12 =2×6.
• Soit n>0 tel que n^3+11n soit divisible par 6. On pose n^3+11n=6k.
Pour n+1 :
(n+1)^3 + 11(n+1) = n^3+3n^2+3n +1 +11n +11= 6k+ 3n(n+1)+12
6k et 12 sont divisibles par 6.
Si n est pair alors on pose n=2p et 3n(n+1)=6p(p+1) donc divisible par 6.
Si n est impair on pose n=2p+1 et 3n(n+1)=3(2p+1)(2p+2)=6(2p+1)(p+1) donc divisible par 6.
On a donc prouvé que pour tout n>0, n^3+11n est divisible par 6.
• Pour n=1, n^3+11n = 12 =2×6.
• Soit n>0 tel que n^3+11n soit divisible par 6. On pose n^3+11n=6k.
Pour n+1 :
(n+1)^3 + 11(n+1) = n^3+3n^2+3n +1 +11n +11= 6k+ 3n(n+1)+12
6k et 12 sont divisibles par 6.
Si n est pair alors on pose n=2p et 3n(n+1)=6p(p+1) donc divisible par 6.
Si n est impair on pose n=2p+1 et 3n(n+1)=3(2p+1)(2p+2)=6(2p+1)(p+1) donc divisible par 6.
On a donc prouvé que pour tout n>0, n^3+11n est divisible par 6.
oxolaterre
perso moi j'ai fais comme ça :
pour prouver la divisibilité par 6 de n^3+11n on va prouver la divisiblité par 2 ET par 3
pour la divisibilité par 2 :
n^3+11n = n(n²+11)
case n pair : (pair)(impair) = pair
case n impair : (impair)(impair) = pair
pour la divisilité par 3 : (méthode ultra stylé je trouve mais un peu tricky)
si A divise B et A divise B+C alors A divise C
A=3
B= -12n = 3*(-4)n
C= n^3+11n
est- ce que A divise B soit 3 divise -12n ? (oui)
est-ce que 3 divise B+C soit 3 divise n^3-n=(n--1)(n)(n+1) ? (oui)
donc 3 divise n^3+11n
n^3+11n est donc divisible par 2 ET 3 donc divisible par 6
CQFD
pour prouver la divisibilité par 6 de n^3+11n on va prouver la divisiblité par 2 ET par 3
pour la divisibilité par 2 :
n^3+11n = n(n²+11)
case n pair : (pair)(impair) = pair
case n impair : (impair)(impair) = pair
pour la divisilité par 3 : (méthode ultra stylé je trouve mais un peu tricky)
si A divise B et A divise B+C alors A divise C
A=3
B= -12n = 3*(-4)n
C= n^3+11n
est- ce que A divise B soit 3 divise -12n ? (oui)
est-ce que 3 divise B+C soit 3 divise n^3-n=(n--1)(n)(n+1) ? (oui)
donc 3 divise n^3+11n
n^3+11n est donc divisible par 2 ET 3 donc divisible par 6
CQFD
HylienDivin
🙋🏻
Ben congruence modulo 6.
