Par récurrence.

• Pour n=1, n^3+11n = 12 =2×6.

• Soit n>0 tel que n^3+11n soit divisible par 6. On pose n^3+11n=6k.

Pour n+1 :
(n+1)^3 + 11(n+1) = n^3+3n^2+3n +1 +11n +11= 6k+ 3n(n+1)+12

6k et 12 sont divisibles par 6.
Si n est pair alors on pose n=2p et 3n(n+1)=6p(p+1) donc divisible par 6.
Si n est impair on pose n=2p+1 et 3n(n+1)=3(2p+1)(2p+2)=6(2p+1)(p+1) donc divisible par 6.


On a donc prouvé que pour tout n>0, n^3+11n est divisible par 6.