On recherche un couple (n,m) d'entiers naturels tel que le quotient de n^2016 par 10^m soit 2016. C'est-à-dire qu'il 0<r<10^m tel que: n^2016 = 2016*10^m + r.

Or, le quotient a une formule explicite pour deux entiers naturels, en notant E(x) la partie entière d'un réel x: 2016 = E(n^2016 / 10^m) avec pour tout x réel x <= E(x) < x+1

Notons f la fonction racine 2016-ième... l'inégalité en haut donne:
f(2015*10^m) < n <= f(2016*10^m)
n étant un entier, il suffit que l'interval ]f(2015*10^m), f(2016*10^m)] contienne un entier.

Or, la largeur de cet interval est: f(2016*10^m) - f(2015*10^m). Par morphisme multiplicatif de f, la largeur de cet interval est: 10^(m/2016)*(f(2016)-f(2015).. La suite étant définie par u_n = 10^(n/2016)*(f(2016)-f(2015) étant divergente vers + l'infini, il existe un entier m0 tel que f(2016*10^m0) - f(2015*10^m0) > 1 : il existe donc un entier n0 dans l'interval ]f(2015*10^m0), f(2016*10^m0)] et donc avec le quotient de n0 par 10^m0 est 2016.