Citation de Markov
Soit $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espace probabilisé.
Soient $X_i, i\geq 0$ des v.a réelles iid de loi $Unif[0,x]$, pour $0 < x < 1$.
Soit $S_n = \Sum_{i=0}^{n-1} X_i$ pour $n\geq 0$.
Clairement, $(S_n)$ est un processus adapté à la filtration $\sigma(X_i, 0\leq i \leq n-1) = \sigma(S_i, 0\leq i \leq n)$ car les $S_i$ sont fonctions mesurables des $X_i$ et réciproquement.
De plus, $S_n$ est intégrable pour tout $n$ car borné (par $n$) et $\mathbb{P}$ est une mesure finie (probabilité).
Enfin, $E(S_{n+1}-(n+1)\frac{x}{2} | S_n) = E(S_n + X_{n+1} - \frac{(n+1)x}{2} | S_n) = S_n - \frac{(n+1)x}{2} + E(X_{n+1}) = S_n - \frac{(n+1)x}{2} + \frac{x}{2} = S_n - \frac{nx}{2}$
Par conséquent, $M := (S_n - n\frac{x}{2} )$ est une matringale par rapport à la filtration naturelle des $S_n$ qu'on notera F
Soit $T := inf\{n\geq 0 : S_n \geq 1\}$. C'est un F-temps d'arrêt (car en temps discret tout processus est continu et toutes les filtrations aussi, et $T$ est le temps d'atteinte d'un fermé).
La martingale M arretée à T est bornée (par 1), donc d'après le théorème d'arrêt,
$E(M_T) = E(M_0) = E(S_0) = E(X_0) = \frac{x}{2}$
Or, on a aussi $E(M_T) = E(S_T) - E(T\frac{x}{2}) = 1 - \frac{x}{2}E(T)$
On a donc $E(T) = \frac{2}{x} ( 1 - \frac{x}{2} ) = \frac{2}{x} - 1$

Je crois que tu as fais une erreur