Je dois réviser mes contrôles mais j'ai vraiment 0 motivation + fatigue c'est compliqué

Sinon il y a un truc auquel j'ai vraiment rien capté,

dans un exercice à un moment je dois démontrer que si x est impair alors x^4 est congru à 1 modulo 16

je pose x = 2k+1, je calcule (2k+1)^4 et je trouve (2k+1)^4 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k+1

Donc (2k+1)^4 - 1 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k

Du coup je devrai trouver que le terme de droite est un multiple de 16 pour avoir que x^4 - 1 est congru à 0 modulo 16 c'est à dire x^4 est congru à 1 modulo 16 mais c'est pas le cas du coup je suis perdu

Dans la correction le calcul est différent en utilisant une identité remarquable :

x^4 - 1 = (x^2 + 1) (x^2 - 1) = 16 * k*(k+1)/2 * (2k^2+2k+1) (en remplaçant x = 2k+1)

Mais ici je comprends pas pourquoi on peut conclure puisque qu'on on obtient une fraction (k*(k+1)/2) et pas un entier, donc on ne peut pas dire que 16 divise x^4 - 1 non ?

J'ai peut-être fait une erreur de calcul ou alors il y a quelque chose que j'ai rien capté, c'est très probable