Citation de Nathael
Prouvez que pour tous réels x, et y ;
x²+y²+1>y sqrt(x²+1)+x sqrt(y²+1)
Problème que mon prof a posé quand j'étais en seconde, je me souviens avoir passé 6 heures pour résoudre cette merde.

Ben j'éleve deux fois au carré. On n'a meme pas besoin de développer entierement le deuxieme carré.

On peut supposer x et y >=0 (sinon on raisonne avec les valeurs absolues). Tu pars de l'inégalité qui est équivalente á
x^4 + y^4 + 2x^2 + 2y^2 + 2x^2y^2 > x^2(y^2 + 1) + y^2(x^2 + 1) + xy . sqrt[ (1 + x^2)(1+y^2) ], je simplifie un peu :
c'est équivalent á
xy . sqrt[ (1 + x^2) (1+y^2) ] <= x^4 + y^4 + 1 + x^2 + y^2 , j'éleve encore au carré et ca donne á gauche
x^2y^2 (1+x^2)(1 + y^2) = x^2 y^2 + x^4 y^2 + x^2 y^4 + x^4 y^4

La partie droite est séparée en A = (x^4 + y^4)^2 , B = (1 + x^2 + y^2)^2 et C = 2(1+x^2+y^2)(x^4 + y^4). Dans A tu trouves de quoi tuer le terme x^4 y^4, dans B tu trouves de quoi tuer x^2 y^2 et dans C tu trouves largement (car il y a un 2) un moyen de tuer les x^2 y^4 et y^2 x^4

Exercice peut etre pénible si on développe mal mais c'est plutot straightforward
C'est évident que tu trouves plus que le membre de gauche.



Avec des outils de L1 j'entends, si la suite U n'a qu'une valeur d'adhérence les lim sup u et lim inf u y convergent donc lim u existe et c'est la meme valeur