1 - Je lance une pièce jusqu’à obtenir 3 faces de suite. Je note T le premier instant auquel j’observe trois faces de suite. Quelle est l’espérance de T ?

2 - Si X suit une loi gaussienne, calculer E [ X^n ] pour tout n.

3 - Si Y suit une loi de poisson de paramètre a , calculer E [ X ( X-1) (X-2) ... (X-n+1) ] pour tout entier n >= 1

4 - On note C(k, n) le coefficient binomial {k parmi n}. Montrer que la somme de C(k, 4n) où k varie entre n+1 et 3n-1 est plus grand que (n-1) * 4^n / n



5 - Soit t > 0 et R1, R2, R3, .... , Rn, ... une suite de variables aléatoires qui suivent la loi uniforme sur [0, t ] , et on note M(p) le maximum des R1, R2, ..., Rp . Montrer que M(p) converge déjà en probabilité vers t puis que M(p) converge P -presque sûrement vers t

6 - Soit (Xn , n) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On pose A(p) = { |X(p)| > p } . Montrer que X1 admet une espérance si et seulement si P { A(n) infiniment souvent } = 1