Ah d'accord je pense que ton équation intégrale c'est une convolution donc tu supposes déjá que x admet une transformée de Fourier, tu appliques et normalement comme la transformée de Fourier de la convolution c'est le produit des transformées ca doit se faire.

Je note f_a (x) = exp(-a |x| ).

Ton équation c'est x(t) + (x convol f_a) (t) = f_a(t) donc en prenant l'opérateur transformée de Fourier F :
F (x) (t) + F ( x convol f_a ) (t) = F f_a (t)

soit :
F (x) (t) + F (x) (t) * F f_a (t) = F f_a (t)



On en déduit que

F (x) (t) = F f_a (t) / ( 1 + F f_a (t) )

et on cherche dans sa table l'inverse de Fourier.