Citation de Lelouche1
Comment tu obtiens dans les équations différentiels tes solutions particulières? Parce que quand j'ai dû les utiliser, j'ai toujours dû apprendre par coeur qu'une équation comme çi = cette solution particulière. Peux tu me démontrer comment on arrive à cette solution?

Déjà il faut tester si ta fonction est effectivement solution de l’équa diff.

Ensuite, le théorème te dit que ta solution s’écrit comme f0 + lambda * f où f peut être ta fonction exponentielle par exemple, mais ce que tu veux c’est que f0 ne s’écrive pas comme beta * f , qu’elle ne soit pas égale à f avec une constante multiplicative. C’est parce que f0 n’appartient pas à l’ensemble { alpha . f , alpha réel } qu’on dit que cette solution est “particulière” - ce qui mathématiquement ne veut rien dire.


Pour les trouver il existe des procédés. Si j’ai une équa diff linéaire du style :

f’ + a.f = b, avec une solution “générale” u, solution de u’ + a.u = 0, je pose g la fonction telle que u.g soit solution. En dérivant :
u’g + ug’ + a.u.g = b donc (u’ + a.u).g + ug’ = b mais comme u’ + a.u = 0 alors :
ug’ = b donc g’ = b/u et g s’obtient en intégrant b/u. Et ultimement tu as ta “solution particulière” u.g