Benguigz
Avec les axiomes de Hilbert 
Si quelqu'un aurait une idée
(Y a surement besoin que des axiomes d'incidence de celui des parallèles)
I. Incidence
I.1 : Par deux points distincts, passe une droite.
I.2 : Par deux points distincts, passe une seule droite (c'est-à-dire que la droite donnée en I.1 est unique, elle est déterminée par les deux points distincts).
I.3 : Sur une droite sont situés au moins deux points, et pour une droite donnée, il existe au moins un point qui n'est pas sur la droite.
I.4 : Soient trois points non alignés c'est-dire non situés sur une même droite, alors il existe un plan sur lequel sont situés ces trois points. Sur tout plan est situé au moins un point.
I.5 : Soient trois points non alignés, il n'existe qu'un et un seul plan sur lequel sont situés ces trois points.
I.6 : Soient deux points (distincts) d'une droite d qui sont sur un plan α, alors tous les points de d sont sur α. On dit alors que la droite d est dans le plan.
I.7 : Si deux plans ont un point en commun, ils ont alors au moins un autre point en commun.
I.8 : Il existe au moins un quadruplet de points non situés sur un même plan, c'est-à-dire tels que les quatre points sont non coplanaires.
II. Ordre Modifier
II.1 : Si un point B est entre les points A et C, B est aussi entre les points C et A, et il existe une droite contenant les trois points A, B, C.
II.2 : Soient deux points A et C, il existe au moins un point B de la droite AC tel que C soit entre A et B.
II.3 : Soient trois points alignés, alors un au plus se situe entre les deux autres.
Définition : Deux points A et B sur une droite d, définissent un segment noté AB ou BA. Les points du segment AB sont les points de d entre A et B. Les extrémités du segment AB sont les points A et B.
II.4 : Axiome de Pasch. Soient trois points A, B, C non alignés et soit une droite d contenue dans le plan ABC mais ne passant par aucun des points A, B, C. Si d passe par un point du segment AB, alors d passe aussi soit par un point du segment AC, soit par un point du segment BC.
III. Congruence Modifier
III.1 : Soient deux points distincts A, B et un point A' élément d'une droite d, il existe deux et deux uniques points C et D éléments de la droite d, tel que A' se situe entre C et D, et AB est congru à CA' ainsi qu'à DA' .
III.2 : La relation de congruence est transitive, c’est-à-dire, si AB est congru à CD et si CD est congru à EF, alors AB est congru à EF.
III.3 : Soient une droite d contenant les segments sans point commun AB et BC et une droite d' contenant les segments sans point commun A'B' et B'C' . Si AB est congru à A'B' et BC est congru à B'C' , alors AC est congru à A'C' .
III.4 : Soient un angle ABC dans un plan α et une demi-droite B'C' dans un plan α', il existe deux et seulement deux demi-droites, B'D et B'E dans le plan α', telles que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC.
Corollaire : Tout angle est congru à lui-même.
III.5 : Soient deux triangles ABC et A'B'C' tel que AB est congru à A'B' , AC est congru à A'C' , et l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .
IV. Parallèles Modifier
IV : Axiome d'Euclide. Soient une droite d et un point A non sur d; dans le plan déterminé par d et A, il existe au plus une droite passant par A qui n'a aucun point commun avec d.
De cet axiome et des précédents on déduit que par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule parallèle à cette droite.
V. Continuité Modifier
V.1 : Axiome d'Archimède. Soient deux segments AB et CD tel que C est différent de D. Alors il existe un entier n, et n points A1,..., An de la droite contenant le segment AB, tels que Aj se situe entre Aj-1 et Aj+1 si 2 ≤ j < n - 1, AjAj+1 est congru à CD si 1≤ j <n - 1, A est confondu avec A1 et B se situe entre A et An.
Ce groupe peut, ou non, être complété par un axiome impliquant la complétude de la géométrie. Celui-ci est ajouté par Hilbert à la traduction française de 1900 et apparaît dès la seconde édition de 1903[4]. Hilbert précise qu'il ne supposera pas en général sa validité.
V.2 : Axiome de l'intégrité linéaire. L'ensemble des points d'une droite, soumis aux relations d'ordre et de congruence, n'est susceptible d'aucune extension dans laquelle restent valides les relations précédentes et les axiomes I à III et V.1[5]
Si quelqu'un aurait une idée
(Y a surement besoin que des axiomes d'incidence de celui des parallèles)
I. Incidence
I.1 : Par deux points distincts, passe une droite.
I.2 : Par deux points distincts, passe une seule droite (c'est-à-dire que la droite donnée en I.1 est unique, elle est déterminée par les deux points distincts).
I.3 : Sur une droite sont situés au moins deux points, et pour une droite donnée, il existe au moins un point qui n'est pas sur la droite.
I.4 : Soient trois points non alignés c'est-dire non situés sur une même droite, alors il existe un plan sur lequel sont situés ces trois points. Sur tout plan est situé au moins un point.
I.5 : Soient trois points non alignés, il n'existe qu'un et un seul plan sur lequel sont situés ces trois points.
I.6 : Soient deux points (distincts) d'une droite d qui sont sur un plan α, alors tous les points de d sont sur α. On dit alors que la droite d est dans le plan.
I.7 : Si deux plans ont un point en commun, ils ont alors au moins un autre point en commun.
I.8 : Il existe au moins un quadruplet de points non situés sur un même plan, c'est-à-dire tels que les quatre points sont non coplanaires.
II. Ordre Modifier
II.1 : Si un point B est entre les points A et C, B est aussi entre les points C et A, et il existe une droite contenant les trois points A, B, C.
II.2 : Soient deux points A et C, il existe au moins un point B de la droite AC tel que C soit entre A et B.
II.3 : Soient trois points alignés, alors un au plus se situe entre les deux autres.
Définition : Deux points A et B sur une droite d, définissent un segment noté AB ou BA. Les points du segment AB sont les points de d entre A et B. Les extrémités du segment AB sont les points A et B.
II.4 : Axiome de Pasch. Soient trois points A, B, C non alignés et soit une droite d contenue dans le plan ABC mais ne passant par aucun des points A, B, C. Si d passe par un point du segment AB, alors d passe aussi soit par un point du segment AC, soit par un point du segment BC.
III. Congruence Modifier
III.1 : Soient deux points distincts A, B et un point A' élément d'une droite d, il existe deux et deux uniques points C et D éléments de la droite d, tel que A' se situe entre C et D, et AB est congru à CA' ainsi qu'à DA' .
III.2 : La relation de congruence est transitive, c’est-à-dire, si AB est congru à CD et si CD est congru à EF, alors AB est congru à EF.
III.3 : Soient une droite d contenant les segments sans point commun AB et BC et une droite d' contenant les segments sans point commun A'B' et B'C' . Si AB est congru à A'B' et BC est congru à B'C' , alors AC est congru à A'C' .
III.4 : Soient un angle ABC dans un plan α et une demi-droite B'C' dans un plan α', il existe deux et seulement deux demi-droites, B'D et B'E dans le plan α', telles que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC.
Corollaire : Tout angle est congru à lui-même.
III.5 : Soient deux triangles ABC et A'B'C' tel que AB est congru à A'B' , AC est congru à A'C' , et l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .
IV. Parallèles Modifier
IV : Axiome d'Euclide. Soient une droite d et un point A non sur d; dans le plan déterminé par d et A, il existe au plus une droite passant par A qui n'a aucun point commun avec d.
De cet axiome et des précédents on déduit que par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule parallèle à cette droite.
V. Continuité Modifier
V.1 : Axiome d'Archimède. Soient deux segments AB et CD tel que C est différent de D. Alors il existe un entier n, et n points A1,..., An de la droite contenant le segment AB, tels que Aj se situe entre Aj-1 et Aj+1 si 2 ≤ j < n - 1, AjAj+1 est congru à CD si 1≤ j <n - 1, A est confondu avec A1 et B se situe entre A et An.
Ce groupe peut, ou non, être complété par un axiome impliquant la complétude de la géométrie. Celui-ci est ajouté par Hilbert à la traduction française de 1900 et apparaît dès la seconde édition de 1903[4]. Hilbert précise qu'il ne supposera pas en général sa validité.
V.2 : Axiome de l'intégrité linéaire. L'ensemble des points d'une droite, soumis aux relations d'ordre et de congruence, n'est susceptible d'aucune extension dans laquelle restent valides les relations précédentes et les axiomes I à III et V.1[5]
