J'ai jamais saisi le sens de ce mot

Le nihilisme moral est une position philosophique qui consiste à tenir pour vrai qu'il n'existe pas de vérité morale objective. D'où « nihilisme » qui vient du latin nihil, rien.
Maintenant, c'est un peu confus car Nietzsche part de ce constat avec lequel il est en accord pour en arriver à qualifier de nihiliste celui qui laisse la morale diriger sa vie, en gros.
Les deux usages sont quasiment antonymiques, ce qui a souvent tendance à perdre les gens.

Citation de Pavarotti
J'ai l'impression que c'est juste le nouveau terme à la mode pour qualifier les gens cyniques

Non, le cynisme est encore un autre concept philosophique différent.
Mais c'est vrai que c'est à la mode comme mot.