Citation de Kilucru

Citation de Spy

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Citation de Spy

Un peu de stats :
Soit X une variable aléatoire de loi continue uniforme sur [0,theta]
-Détermine l'estimateur du maximum de vraisemblance de theta.
-Cet estimateur est-il biaisé? En déduire un estimateur sans biais.
mêmes questions avec : Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre theta.

Pour un échantillon X1,...,Xn c'est le max des Xi et faut le multiplier par (n+1)/n pour enlever le biais.
Pour une poisson c'est la moyenne empirique. Pas de biais

non
je te laisse une 2eme chance, j'ai édit en rajoutant une question pour donner une piste

Déjà la loi d'une uniforme est pas continue.
La densité c'est 1/theta 1[0,theta] .
La vraisemblance de x1,...,xn,theta c'est 1/theta^n 1[max xi, +inf[ ...
Où ai-je tort?

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A) Soit X une variable aléatoire de loi continue uniforme sur [0,θ]
- La fonction de densité : f(x)=1/0 sur l'intervalle [0,θ], et 0 ailleurs.
- La vraisemblance : V(x1,...,xn,θ) = 1/θ^n si θ > max{x1,...,xn}, 0 sinon. La fonction V (fonction de θ) est nulle entre 0 et max{x1,...,xn}, puis elle est clairement décroissante, mais positive. Le max est donc atteint au poit ^θ = max{X1,...,Xn}. C'est le max de vraisemblance (chercher le point qui annulle la dérivée est inutile dans ce cas).
-On déduit la loi de l'estimateur ^θ à partir de celle de θ : P(X<=t)=t/θ si t < θ , 0 sinon.
Donc F(t) = P(^θ<=t) = ∏ P(Xi<=t) = [P(X<=t)]^n = (t/θ)^n si t<θ et F(t) = 0 sinon.
Donc E(^θ) = ∫ t f(t) dt = ∫ t n t^(n-1)/θ^n dt = ∫ n(t/θ)^n dt = nθ/(n+1) . L'estimateur est donc biaisé et son biais est : E(^θ) - θ = -θ/(n+1). Un estimateur sans biais serait (n+1)/n max{X1,...,Xn}
Il reste la partie B avec :
Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre θ.

C'est exactement ce que j'ai écrit