Soient trois vecteurs e1,e2,e3 formant une base de R3.

On note φ l'application linéaire dénie par φ(e1)=e3,φ(e2)=−e1+e2+e3etφ(e3)=e3.

1.Écrire la matrice A de φ dans la base(e1,e2,e3).
Déterminer le noyau de cette application.

2.On pose f1=e1−e3,f2=e1−e2,f3=−e1+e2+e3.
Calculer e1,e2,e3 en fonction de f1,f2,f3.

Les vecteurs f1,f2,f3 forment-ils une base de R3?
3.Calculer φ(f1),φ(f2),φ(f3) en fonction de f1,f2,f3.

Écrire la matrice B de φ dans la base (f1,f2,f3) et trouver la nature de l'application φ.

4.On pose P=11−10−11−101.
Vérifer que P est inversible et calculerP−1.
Quelle relation lie A,B,P et P−1?