Soit f la fonction définie sur par : f(x) = 4,5 - \frac{6x^3 + 24x^2 + 36x + 18}{(x^2 + 2x + 2)^2}
On désigne par C_f sa courbe représentative.

1 - Étudier les limites en de f en -\infty et +\infty. En donner une interprétation graphique.
2 - Calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = \frac{6x(x + 2)^3}{(x^2 + 2x + 2)^2}
Étudier le signe de f'(x)
3 - Étudier le sens de variation de f sur (on précisera les extremums)

Pour la question 1, j'ai développé le dénominateur. J'ai trouvé x^4 + 6x^3 - 8x + 4. Puis j'ai tout mis au même dénominateur, et ai trouvé \frac{4,5x^4 + 21x^3 - 24x^2 + 36}{x^4 + 6x^3 - 8x + 4}
Je me suis ensuite servi du théorème des termes de plus haut degré pour trouver la limite :
\lim_{x\to +\infty} (f(x)) = \lim_{x\to +\infty} (\frac{4,5x^4}{x^4}) = 4,5

Il y a donc une asymptote horizotale d'équation y = 4,5. Ce que j'ai vérifié à la calculatrice et apparemment c'est bon.

Mais pour la deuxième question, j'ai voulu faire :
f'(x) = \frac{u'v-v'u}{v^2}
Mais les calculs deviennent vraiment trop longs (au point de ne pas tenir sur une ligne). Et en plus du fait que cela soit rébarbatif, je risque de faire des erreurs bêtes.


J'attends...