Citation de HylienDivin
Tu peux repérer un point de la sphère par un couple (u, v) avec
x(u, v) = cos u . cos v
y(u, v) = cos u . sin v
z(u, v) = sin u
Tu peux voir que x(u, v)^2 + y(u, v)^2 + z(u, v)^2 = 1

My bad le couplé x,y j'ai trop l'habitude, t'es en coordonnées sphérique. A


, avec tes angles.

Sinon tu as la projection stéréographique qui mappe la sphère privé d'un pôle sur le plan.
Non la sphère est la seule surface de courbure constante positive partout. Elle est partout égale à 1 / R^2 . Mais il existe plusieurs surfaces de courbure négative constante.
C'est l'hélicoide qui est isométrique au caténoide, pas la sphère .
E = 1 , F = 0 , G = u^2 + a^2 pour la caténoide et l'hélicoide.
Pour la sphère c'est E = 1, F = 0, G = sin( v)^2 je crois.

Ça passe par les tenseurs de Riemann là