Citation de Recitasse
Stylée.
On est dans la maths purs là.
Je me disais cependant pendant tout le long, "le caténoïde est homeopmorphe à la sphère"
Après je le suis souvenu qu'il y a variété à bord ou non. Ça veut dire que tu coupes les pôles de la sphère dans ce cas.
Le moment où j'ai pas pige c'est quand tu parles de coordonnées (x,y), alors qu'une sphère est en 3D (même si elle n'a pas de volume)

Tu peux repérer un point de la sphère par un couple (u, v) avec
x(u, v) = cos u . cos v
y(u, v) = cos u . sin v
z(u, v) = sin u

Tu peux voir que x(u, v)^2 + y(u, v)^2 + z(u, v)^2 = 1

Sinon tu as la projection stéréographique qui mappe la sphère privé d'un pôle sur le plan.

De même. Pour une sphère on a une courbure qui doit être nul au niveau des pôles non ?

Non la sphère est la seule surface de courbure constante positive partout. Elle est partout égale à 1 / R^2 . Mais il existe plusieurs surfaces de courbure négative constante.

Comment peut elle être égal à celle de du caténoïde dans ce cas.

C'est l'hélicoide qui est isométrique au caténoide, pas la sphère .
E = 1 , F = 0 , G = u^2 + a^2 pour la caténoide et l'hélicoide.
Pour la sphère c'est E = 1, F = 0, G = sin( v)^2 je crois.