Je vais vous présenter trois surfaces bien connues.


Voici une caténoide.


Voici une hélicoide.


Et voici une ... sphère. Pas de piège, c’est la sphère que vous connaissez bien.

Quand je parle de surface, je parle bien de l’enveloppe. Ainsi, la sphère c’est comme un ballon de baudruche, vide à l’intérieur.

Maintenant, prenons trois forumeurs au hasard. Je prends trois candidats à la modération : Shemale, 123pk, Krayo. Supposons que Shemale vive sur la caténoide, 123pk sur l’hélicoide et Krayo sur la sphère. On suppose ici que leur surface est très grande : Krayo vit sur la lune par exemple, et Shemale et 123pk sur des surfaces également grandes.

On peut se poser une question : Krayo peut-il savoir qu’il vit sur une sphère ? Shemale et 123pk peuvent-ils savoir qu’ils vivent sur une caténoide ou une hélicoide ? Et Shemale peut-il savoir si 123pk et Krayo vivent sur des surfaces différentes de la sienne ?

Réfléchissez un instant, et dites-donc en commentaire ce que vous en pensez avant de lire la suite.

Et bien la réponse est : ça dépend.

Admettons que nos trois forumeurs se munissent chacun d’une règle, d’un compas, d’une équerre ... de plein d’instruments de mesure géométrique en fait. Et qu’ils commencent à faire des mesures, et qu’ils se les communiquent via internet.

Et bien en fait, il se trouve que Krayo peut savoir qu’il vit sur une sphère et il peut également savoir que Shemale et 123pk vivent sur des surfaces différentes de la sienne !

Mais en revanche, Shemale et 123pk peuvent certes savoir que Krayo vit sur une sphère (si il leur communique ses données) mais ils ne peuvent pas distinguer leurs surfaces respectives ! Shemale et 123pk n’ont aucun moyen de savoir qu’ils vivent sur des surfaces différentes !

Mathématiquement, c’est parce qu’avec leurs outils, nos forumeurs sont capables de calculer la courbure de leur surface. Krayo peut la mesurer partout et en conclure qu’elle est constante et positive partout : il peut donc dire “tiens je vis sur une sphère !”.
Mais 123pk et Shemale vont eux trouver la même courbure : si on les repère sur leur surface par un couple de coordonées (x, y) [ pour la sphère ; x == longitude, y == lattitude ), alors nos deux forumeurs vont trouver une courbure de la forme C1 / x^2 + C2 avec C1 et C2 des constantes : il leur est impossible de différencier leur courbure avec leurs outils.

C1 et C2 constants signifient que la surface de Shemale est peut être plus grande que celle de 123pk, donc la courbure est moins prononcée, mais la forme de la courbure est la même : il ne peut donc pas savoir qu’il vit sur une caténoide et 123pk sur l’hélicoide.

Cette façon de faire des mesures sur sa surface avec des outils comme la règle, le compas, l’instrument à ellipses... on appelle cela la première forme fondamentale, ou la métrique de la surface.

La métrique permet de calculer la courbure.

Et quand deux surfaces ont la même métrique, elles ont la même courbure. On dit que deux surfaces avec la même métrique (à une constante près) sont isométriques, ou qu’elles sont applicables l’une sur l’autre. Cela signifie que si je prends une paire de ciseaux et que je coupe en deux la caténoide, je peux la dérouler sur l’hélicoide. Ou alors je peux dérouler l’hélicoide sur la caténoide.


C’est bien pour cela qu’un cylindre a une courbure nulle : vous pouver couper le cylindre et le dérouler parfaitement sur un plan. Le plan ayant une courbure nulle, le cylindre a une courbure nulle. Notez que ce que je dis n’est pas uniquement valable pour le cylindre de base sphérique : c’est vrai pour tous les cylindres peu importe leur base.