PseudoSimple
En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus {\displaystyle X} X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée {\displaystyle F_{s}} F_{s}, est la valeur à cette même date :
{\displaystyle E(X_{t}|F_{s})=X_{s}} E(X_{t}|F_{s})=X_{s} (Avec {\displaystyle s\leq t} s\leq t )
{\displaystyle X} X est un processus adapté à la filtration {\displaystyle F} F.
On parlera de sous-martingale si {\displaystyle E(X_{t}|F_{s})\geq X_{s}} E(X_{t}|F_{s})\geq X_{s} et de sur-martingale si {\displaystyle E(X_{t}|F_{s})\leq X_{s}} E(X_{t}|F_{s})\leq X_{s}.
Sommaire [masquer]
1 Définitions
2 Historique du nom
3 Propriétés
4 Exemples de martingales
5 Martingales et temps d'arrêts
6 Bibliographie
7 Notes et références
Définitions[modifier | modifier le code]
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} {\mathbb R}^{+} ou {\displaystyle \mathbb {N} } {\mathbb N}.
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}}, c'est-à-dire {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} }.
Filtration naturelle
Soit {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires. On dit que {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} définie par {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}),\ \forall n\in \mathbb {N} } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}),\ \forall n\in \mathbb {N} } est la filtration naturelle de la suite {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}}.
Processus adapté
On dit que le processus {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}} est adapté à la filtration {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} si {\displaystyle X_{n}} X_{n} est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-mesurable pour tout entier n.
Martingale dans {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N}
Soit {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} une filtration.
Soit {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires.
On dit que {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est une martingale par rapport à {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} si:
{\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est adaptée à la filtration {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}}.
{\displaystyle M_{n}\,} M_{n}\, est intégrable pour tout entier n.
{\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=M_{n}} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})=M_{n}.
Si {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} respecte les deux premières conditions, et {\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\geq M_{n}\ \forall n} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})\geq M_{n}\ \forall n alors on l'appelle sous-martingale, et si {\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\leq M_{n}\ \forall n} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})\leq M_{n}\ \forall n, alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Processus prévisible
Soit {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} une filtration.
Soit {\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 0}} (Y_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires.
On dit que {\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 0}} (Y_{n})_{{n\geq 0}} est processus prévisible si {\displaystyle Y_{0}\,} Y_{0}\, est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}} {\mathcal {F}}_{0}-mesurable et {\displaystyle Y_{n+1}\,} Y_{n+1} \, est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-mesurable pour tout entier n.
Historique du nom[modifier | modifier le code]
Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note1)
En théorie des probabilités, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse2 de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 2 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.
La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, le terme martingale apparaît pour la première fois en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave3. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire4 de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale5, jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.
La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au xvie siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"1.
Propriétés[modifier | modifier le code]
Propriété 1
Soit {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} une martingale.
On a {\displaystyle E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n}))=E(M_{n})=\ldots =E(M_{0})} E(M_{{n+1}})=E(E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n}))=E(M_{n})=\ldots =E(M_{0})
Autrement dit, la suite {\displaystyle (E(M_{n}))_{n\geq 0}} (E(M_{n}))_{{n\geq 0}} est constante.
Exemples de martingales[modifier | modifier le code]
Soit {\displaystyle X\,} X\, une variable aléatoire intégrable et {\displaystyle X_{n}:=E(X|{\mathcal {F}}_{n})} X_{n}:=E(X|{\mathcal {F}}_{n}).
Alors {\displaystyle (X_{n})_{n}\,} (X_{n})_{n}\, est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Soit {\displaystyle (X_{k})_{k}\,} (X_{k})_{k}\, une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite {\displaystyle (S_{n})_{n}\,} (S_{n})_{n}\, définie par {\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}} S_{n}:=\sum _{{k=1}}^{n}X_{k} est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale avec {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n})} {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}).
Soit {\displaystyle (X_{n})_{n}} (X_{n})_{n} une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale, soit {\displaystyle (Y_{n})_{n}} (Y_{n})_{n} un processus borné prévisible par rapport à {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}} ({\mathcal {F}}_{n})_{n}.
Alors {\displaystyle (Z_{n})_{n}\,} (Z_{n})_{n}\, définie par {\displaystyle Z_{n}:=Y_{0}X_{0}+\sum _{k=1}^{n}Y_{k}(X_{k}-X_{k-1})} Z_{n}:=Y_{0}X_{0}+\sum _{{k=1}}^{n}Y_{k}(X_{k}-X_{{k-1}}) est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Martingale de Doob
On étudie l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires {\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (Y_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} définies sur le même espace probabilisé et on pose :
{\displaystyle X_{n}=\mathbb {E} [X|Y_{0},...,Y_{n}]} X_{{n}}={\mathbb {E}}[X|Y_{{0}},...,Y_{{n}}]
La suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} est appelée martingale de Doob.
Martingale de Wald
On définit la suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} selon la fonction génératrice d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées {\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (Y_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}}
{\displaystyle X_{n}=e^{t\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}\,\mathbb {E} [e^{tY}]^{-n}} X_{{n}}=e^{{t\sum _{{i=1}}^{{n}}Y_{{i}}}}\,{\mathbb {E}}[e^{{tY}}]^{{-n}}
La suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} est appelée martingale de Wald.
Exemple de martingale à temps continu
On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard {\displaystyle (B_{t})_{t}} (B_{t})_{t}. Alors le processus stochastique {\displaystyle (M_{t}=B_{t}^{2}-t)_{t}} (M_{t}=B_{t}^{2}-t)_{t} est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale {\displaystyle (B_{t}^{2})_{t}} (B_{t}^{2})_{t}
{\displaystyle E(X_{t}|F_{s})=X_{s}} E(X_{t}|F_{s})=X_{s} (Avec {\displaystyle s\leq t} s\leq t )
{\displaystyle X} X est un processus adapté à la filtration {\displaystyle F} F.
On parlera de sous-martingale si {\displaystyle E(X_{t}|F_{s})\geq X_{s}} E(X_{t}|F_{s})\geq X_{s} et de sur-martingale si {\displaystyle E(X_{t}|F_{s})\leq X_{s}} E(X_{t}|F_{s})\leq X_{s}.
Sommaire [masquer]
1 Définitions
2 Historique du nom
3 Propriétés
4 Exemples de martingales
5 Martingales et temps d'arrêts
6 Bibliographie
7 Notes et références
Définitions[modifier | modifier le code]
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} {\mathbb R}^{+} ou {\displaystyle \mathbb {N} } {\mathbb N}.
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}}, c'est-à-dire {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} }.
Filtration naturelle
Soit {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires. On dit que {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} définie par {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}),\ \forall n\in \mathbb {N} } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}),\ \forall n\in \mathbb {N} } est la filtration naturelle de la suite {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}}.
Processus adapté
On dit que le processus {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}} (X_{n})_{{n\geq 0}} est adapté à la filtration {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} si {\displaystyle X_{n}} X_{n} est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-mesurable pour tout entier n.
Martingale dans {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N}
Soit {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} une filtration.
Soit {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires.
On dit que {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est une martingale par rapport à {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} si:
{\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est adaptée à la filtration {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}}.
{\displaystyle M_{n}\,} M_{n}\, est intégrable pour tout entier n.
{\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=M_{n}} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})=M_{n}.
Si {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} respecte les deux premières conditions, et {\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\geq M_{n}\ \forall n} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})\geq M_{n}\ \forall n alors on l'appelle sous-martingale, et si {\displaystyle E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\leq M_{n}\ \forall n} E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n})\leq M_{n}\ \forall n, alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Processus prévisible
Soit {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}} ({\mathcal {F}}_{n})_{{n\geq 0}} une filtration.
Soit {\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 0}} (Y_{n})_{{n\geq 0}} une suite de variables aléatoires.
On dit que {\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 0}} (Y_{n})_{{n\geq 0}} est processus prévisible si {\displaystyle Y_{0}\,} Y_{0}\, est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}} {\mathcal {F}}_{0}-mesurable et {\displaystyle Y_{n+1}\,} Y_{n+1} \, est {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-mesurable pour tout entier n.
Historique du nom[modifier | modifier le code]
Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note1)
En théorie des probabilités, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse2 de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 2 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.
La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, le terme martingale apparaît pour la première fois en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave3. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire4 de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale5, jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.
La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au xvie siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"1.
Propriétés[modifier | modifier le code]
Propriété 1
Soit {\displaystyle (M_{n})_{n\geq 0}} (M_{n})_{{n\geq 0}} une martingale.
On a {\displaystyle E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n}))=E(M_{n})=\ldots =E(M_{0})} E(M_{{n+1}})=E(E(M_{{n+1}}|{\mathcal {F}}_{n}))=E(M_{n})=\ldots =E(M_{0})
Autrement dit, la suite {\displaystyle (E(M_{n}))_{n\geq 0}} (E(M_{n}))_{{n\geq 0}} est constante.
Exemples de martingales[modifier | modifier le code]
Soit {\displaystyle X\,} X\, une variable aléatoire intégrable et {\displaystyle X_{n}:=E(X|{\mathcal {F}}_{n})} X_{n}:=E(X|{\mathcal {F}}_{n}).
Alors {\displaystyle (X_{n})_{n}\,} (X_{n})_{n}\, est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Soit {\displaystyle (X_{k})_{k}\,} (X_{k})_{k}\, une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite {\displaystyle (S_{n})_{n}\,} (S_{n})_{n}\, définie par {\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}} S_{n}:=\sum _{{k=1}}^{n}X_{k} est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale avec {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n})} {\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}).
Soit {\displaystyle (X_{n})_{n}} (X_{n})_{n} une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale, soit {\displaystyle (Y_{n})_{n}} (Y_{n})_{n} un processus borné prévisible par rapport à {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}} ({\mathcal {F}}_{n})_{n}.
Alors {\displaystyle (Z_{n})_{n}\,} (Z_{n})_{n}\, définie par {\displaystyle Z_{n}:=Y_{0}X_{0}+\sum _{k=1}^{n}Y_{k}(X_{k}-X_{k-1})} Z_{n}:=Y_{0}X_{0}+\sum _{{k=1}}^{n}Y_{k}(X_{k}-X_{{k-1}}) est une {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\mathcal {F}}_{n}-martingale.
Martingale de Doob
On étudie l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires {\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (Y_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} définies sur le même espace probabilisé et on pose :
{\displaystyle X_{n}=\mathbb {E} [X|Y_{0},...,Y_{n}]} X_{{n}}={\mathbb {E}}[X|Y_{{0}},...,Y_{{n}}]
La suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} est appelée martingale de Doob.
Martingale de Wald
On définit la suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} selon la fonction génératrice d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées {\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (Y_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}}
{\displaystyle X_{n}=e^{t\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}\,\mathbb {E} [e^{tY}]^{-n}} X_{{n}}=e^{{t\sum _{{i=1}}^{{n}}Y_{{i}}}}\,{\mathbb {E}}[e^{{tY}}]^{{-n}}
La suite des {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} (X_{{n}})_{{n\in {\mathbb {N}}}} est appelée martingale de Wald.
Exemple de martingale à temps continu
On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard {\displaystyle (B_{t})_{t}} (B_{t})_{t}. Alors le processus stochastique {\displaystyle (M_{t}=B_{t}^{2}-t)_{t}} (M_{t}=B_{t}^{2}-t)_{t} est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale {\displaystyle (B_{t}^{2})_{t}} (B_{t}^{2})_{t}
