énigme maths d'olympiades

oxolaterre

Posté le 24/01/2025 à 16:06:11

ensorceler un nombre c'est calculer le quotient de la difference du triple de ce nombre et de 5 par la somme de ce nombre et de 1
qu'advient-il d'un nombre ensorcelé 2000 fois ?

https://image.noelshack.com/minis/2023/18/2/1683054044-fouras.png

Solarius 🐈‍⬛🌕

Posté le 24/01/2025 à 16:22:45

C’est-à-dire ? Tu veux la formule qui donne E^2000(x) avec E(x) = (3x-5)/(x+1) ?

oxolaterre

Posté le 24/01/2025 à 16:30:34

Citation de Solarius
C’est-à-dire ? Tu veux la formule qui donne E^2000(x) avec E(x) = (3x-5)/(x+1) ?

en gros c'est l'idée ouai

la strat c'est de reperer un cycle et déduire la valeur pour 2000

oxolaterre

Posté le 24/01/2025 à 16:52:19

réponse

on pose x0 le nombre à ensorceler à qui on applique la fonction f(x)=(3x-5)/(x+1)
je pose une suite avec U0 = x0 et pour tout n dans N Un+1 = f(Un)
U1=f(U0) = (3x0-5)/(x0+1)
U2=f(U1)=(x0-5)/(x0-1)
U3 = f(U2)=(-x0-5)/(x0-3)
U4= f(U3) = x0

la suite est périodique de période 4, 2000 est un multiple de 4 donc ensorceler un nombre 2000 fois me donne le nombre de départ

donc U2000 = x0

Solarius 🐈‍⬛🌕

Posté le 24/01/2025 à 16:55:24

E(x)=x n’a aucune solution réelle donc on ne peut pas arriver à un point fixe...

E(x) = (3x-5)/(x+1)
E²(x) = (x-5)/(x-1)
E³(x) = (-x-5)/(x-3)
E⁴(x) = x

Ça y est j’ai trouvé lol

2000 étant multiple de 4, E²⁰⁰⁰(x) = x.
Un nombre ensorcelé 2000 fois reste le même.

Solarius 🐈‍⬛🌕

Posté le 24/01/2025 à 16:55:55

Citation de oxolaterre
réponse

on pose x0 le nombre à ensorceler à qui on applique la fonction f(x)=(3x-5)/(x+1)
je pose une suite avec U0 = x0 et pour tout n dans N Un+1 = f(Un)
U1=f(U0) = (3x0-5)/(x0+1)
U2=f(U1)=(x0-5)/(x0-1)
U3 = f(U2)=(-x0-5)/(x0-3)
U4= f(U3) = x0
la suite est périodique de période 4, 2000 est un multiple de 4 donc ensorceler un nombre 2000 fois me donne le nombre de départ
donc U2000 = x0